原則、ご本人です。 代理人の請求も可能です。
ただし、専用委任状等が必要です。詳細は神戸市HPをご確認ください。 

神戸市HP_住民票への旧氏の振り仮名の記載
https://www.city.kobe.lg.jp/a53715/kurashi/registration/shomeisho/24_kyuji_hurigana.html